Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，CF⊥FB，BF=CF，G為BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：FG∥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE與平面BCF所成銳二面角的大�。�
（Ⅲ）求四面體B-DEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）運(yùn)用中的確定EO∥FG，再運(yùn)用定理判斷，
（Ⅱ）判斷：平面BDE⊥平面ABCD，平面ABCD⊥平面BFC，得出∠BDC為平面BDE與平面BCF所成銳二面角的平面角，很容易就求解了．
（Ⅲ）求出底面積，高，運(yùn)用體積公式求解即可．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，
連結(jié)EC，CG，由于G為BC的中點(diǎn)，
故GO

∥

.

1

2

AB，又EF

∥

.

1

2

AB，
∴GO

∥

.

EF，∴四邊形EOGF是平行四邊形，
∴EO∥FG，
∵EO?平面EDB，F(xiàn)G不包含于平面EDB，
∴FG∥平面BDE．
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF=CF，G為BC的中點(diǎn)，
∵EF⊥FB，CF⊥FB，
∴BF⊥平面CDEF，
∴CD⊥BF，
∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面BFC，
∴平面ABCD⊥平面BFC，
∵FG⊥BC，EO∥GF
∴FG⊥平面ABCD，EO⊥平面ABCD，
∴平面BDE⊥平面ABCD，
∴∠BDC為平面BDE與平面BCF所成銳二面角的平面角，
∵四邊形ABCD是正方形，∴二面角的大小45°；
（Ⅲ）△DEF的面積為

1

2

×EF×FC=

1

2

×1×

2

=

2

2

三棱錐B-DEF的高為BF=

2

，
∴三棱錐B-DEF的體積為

1

3

×

2

2

×

2

=

1

3

故四面體B-DEF的體積為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了空間幾何體中直線，平面的平行，垂直問(wèn)題，求解有關(guān)的幾何體的體積，夾角問(wèn)題．屬于難題．