Question

已知函數(shù)的周期為,且 ,將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變）,再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像.

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）是否存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在,請求出的值，若不存在,說明理由；

（3）求實(shí)數(shù)與正整數(shù),使得在內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)．

 

Answer 1

（1）；（2）假設(shè)存在，當(dāng)時，，，又，則，所以，即，化簡得或與矛盾，所以不存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列；（3），.

【解析】

試題分析：（1）依題意可求得和，利用三角函數(shù)的圖像變換可求得；（2）依題意，當(dāng)時，，和，問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解，通過求解該方程即可判斷是否有解即可；（3）將“函數(shù)有零點(diǎn)的問題”轉(zhuǎn)化為“方程有實(shí)數(shù)根”的問題，可分種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時，由題意知其不成立；②當(dāng)時，先令將其換元為，然后根據(jù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)判斷在內(nèi)有解所滿足的條件，最后由零點(diǎn)的個數(shù)，判斷出正整數(shù)的取值即可.

試題解析：（1）由函數(shù)的周期為可得，，又由，得，所以；將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（保持縱坐標(biāo)不變）后可得的圖像，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù).

（2）假設(shè)存在，當(dāng)時，，，又，則

，所以，即，化簡得或與矛盾，所以不存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列.

（3）令，即，當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，

，令，則當(dāng)時，.由函數(shù)及，的圖像可知，當(dāng)時，在內(nèi)有3個解.再由可知，，綜上所述，，.

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象變換，函數(shù)與方程.