【題目】如圖,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,點M、N分別是B1C1A1B1的中點,AA1ABBM2,∠A1AB60°

1)求證:BN⊥平面A1B1C1;

2)求二面角A1ABM的余弦值.

【答案】1)見解析; 2.

【解析】

1)要證平面,只需證明;

(2)建立坐標系,求出平面的一個法向量,平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角的余弦值.

1)證明:連接MN,A1B

∵側面是ABB1A1菱形,且∠A1AB60°,∴△A1BB1為正三角形.

NA1B1的中點,∴BNA1B1,

AA1ABBM2,∴BN,MN1,∴BN2+MN2BM2,∴BNMN

A1B1MNN,∴BN⊥平面A1B1C1;

2)取AB的中點E,連接A1E,則A1EBN,由(1)知A1E⊥平面ABC,

E為坐標原點,建立如圖所示的坐標系,則E00,0),A(﹣1,00),B1,0,0),C0,,0),A0,0,),B12,0,),

Mx,y,z),由,

,

,

平面ABA1的一個法向量為01,0),

設平面MAB的法向量xy,z),則 ,

0,﹣21),

,

∴二面角A1ABM的余弦值為

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