Question

設(shè){a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a，公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，記T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²．
（1）若a₁=1，S₃=3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S_n=-

1

2

a_n+3，求證：S_2n=

2

3

T_n；
（3）計(jì)算：

lim

n→∞

Sn

Tn

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：計(jì)算題,綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，S₃=3求出等比數(shù)列的公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由S_n=-

1

2

a_n+3求出等比數(shù)列的前兩項(xiàng)，求出公比，然后求出S_2n和T_n，則結(jié)論得證；
（3）對(duì)q分類(lèi)求出S_n、T_n，作比后可得數(shù)列極限．

解答： （1）解：∵a₁=1，S₃=3，
∴（1+q+q²）=3，解得：q=1或q=-2．
∴a_n=1或an=(-2)n-1；
（2）證明：由S_n=-

1

2

a_n+3，知a₁=2．
當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=-

1

2

a2+3，解得：a2=

2

3

．
即{a_n}是2為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
S_2n=

2(1- 1 32n )

1- 1 3

=3(1-

1

32n

)．
T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

4(1- 1 32n )

1- 1 9

=

9

2

(1-

1

32n

)．
∴S_2n=

2

3

T_n；
（3）解：顯然q≠0．
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na，T_n=na²．

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

a=a；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a(1-qn)

1-q

，
T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

a2(1-q2n)

1-q2

．

Sn

Tn

=

1+q

a(1+qn)

．
當(dāng)|q|＞1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1+q

a(1+qn)

=0；
當(dāng)|q|＜1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1+q

a(1+qn)

=

1+q

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的和，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了數(shù)列極限的求法，是中檔題．