已知函數(shù)f(x)=ln(x+
1
x
),且f(x)在x=
1
2
處的切線方程為y=g(x)
(Ⅰ)求y=g(x)的解析式;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0時(shí),恒有f(x)≥g(x);
(Ⅲ)證明:若ai>0(1≤i≤n,i,n∈N*),且
n
i=1
ai
=1,則(a1+
1
a1
)(a2+
1
a2
)…(an+
1
an
)≥(
n2+1
n
n
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,即可求y=g(x)的解析式;
(Ⅱ)令t(x)=f(x)-g(x),確定其單調(diào)性,求出最小值,即可證明結(jié)論;
(Ⅲ)先求出f(x)在(
1
n
,ln(n+
1
n
))處的切線方程,再證明:f(x)≥
n-n3
1+n2
x-
1-n2
1+n2
+ln(n+
1
n
),即可得出結(jié)論.
解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=ln(x+
1
x
),
∴f′(x)=
x2-1
x3+x
,f(
1
2
)=-ln
5
2
,
∴f′(
1
2
)=-
6
5

∴f(x)在x=
1
2
處的切線方程為y-ln
5
2
=-
6
5
(x-
1
2

即y=g(x)的解析式g(x)=-
6
5
x+
3
5
+ln
5
2
;
(Ⅱ)證明:令t(x)=f(x)-g(x)=ln(x+
1
x
)+
6
5
x-
3
5
-ln
5
2
(x>0),
∴t′(x)=
(x-
1
2
)(6x2+8x+10)
5(x3+x)
,
∴(0,
1
2
)上,t′(x)<0;x>
1
2
,t′(x)>0,∴t(x)min=t(
1
2
)=0,
∴t(x)≥0,即當(dāng)x>0時(shí),恒有f(x)≥g(x);
(Ⅲ)證明:先求出f(x)在(
1
n
,ln(n+
1
n
))處的切線方程,
∵f′(
1
n
)=
n-n3
1+n2
,
∴f(x)在(
1
n
,ln(n+
1
n
))處的切線方程為y-ln(n+
1
n
)=
n-n3
1+n2
(x-
1
n
),
即y=
n-n3
1+n2
x-
1-n2
1+n2
+ln(n+
1
n
).
下證明:f(x)≥
n-n3
1+n2
x-
1-n2
1+n2
+ln(n+
1
n
).
令h(x)=ln(x+
1
x
)-
n-n3
1+n2
x+
1-n2
1+n2
-ln(n+
1
n
),則
h′(x)=
(x-
1
n
)[(n3-n)x2+2n2x+n3+n]
(x3+x)(n2+1)

∵0<x<
1
n
,∴h′(x)<0,x>
1
n
,h′(x)>0,
∴h(x)min=h(
1
n
)=0,
∴f(x)≥
n-n3
1+n2
x-
1-n2
1+n2
+ln(n+
1
n
).
∵ai>0,∴l(xiāng)n(ai+
1
ai
)≥
n-n3
1+n2
•ai-
1-n2
1+n2
+ln(n+
1
n
).
n
i=1
ln(ai+
1
ai
)≥
n-n3
1+n2
n
i=1
ai
-n•
1-n2
1+n2
+nln(n+
1
n
)=nln(n+
1
n

∴(a1+
1
a1
)(a2+
1
a2
)…(an+
1
an
)≥(
n2+1
n
n
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題.
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3
,π<α<
2
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已知函數(shù)f(x)=ax4+bx3,(其中a、b為常數(shù)),當(dāng)x=
3
4
時(shí),取得極值-
27
256

(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(k,﹢∞﹚上為增函數(shù),求k的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)M(-
1
2
,-p2+pq+
1
8
﹚,對任意p∈[1,
9
8
],過點(diǎn)M總可以做函數(shù)y=f(x)圖象的四條切線,求q的取值范圍.

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(2)若Sn=-
1
2
an+3,求證:S2n=
2
3
Tn;
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lim
n→∞
Sn
Tn

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1
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x2
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