【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:(a>0),過點P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C分別交于M,N.
(1)寫出C的平面直角坐標系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)利用將曲線 極坐標方程化為直角坐標方程y2=2ax(a>0);利用加減消元消去參數(shù)將直線的參數(shù)方程化為普通方程x-y-2=0. (Ⅱ)利用直線參數(shù)方程幾何意義,將直線l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程所得關于參數(shù)的方程,其中|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.再根據(jù)成等比數(shù)列列等量關系解得a=1.
試題解析:(Ⅰ)曲線C的直角坐標方程為y2=2ax(a>0);
直線l的普通方程為x-y-2=0. 4分
(Ⅱ)將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0 (*) △=8a(4+a)>0.
設點M,N分別對應參數(shù)t1,t2,恰為上述方程的根.則|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.
由題設得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,則有
(4+a)2-5(4+a)=0,得a=1,或a=-4.因為a>0,所以a=1. 10分
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【題目】在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形,且三棱錐P﹣ABC的外接球表面積為,則直線PC與平面PAB所成角的正切值為_____.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,準線為,與軸的交點為,點在拋物線上,過點作于點,如圖1.已知,且四邊形的面積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若正方形的三個頂點,,都在拋物線上(如圖2),求正方形面積的最小值.
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【題目】已知函數(shù)對于任意的,都有,當時,,且.
(1)求,的值;
(2)當時,求函數(shù)的最大值和最小值;
(3)設函數(shù),判斷函數(shù)g(x) 最多有幾個零點,并求出此時實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點O是對角線AC與BD的交點,M是PD的中點.
(1)求證:OM∥平面PAB;
(2)求證:平面PBD⊥平面PAC.
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【題目】手機中的“運動”具有這樣的功能,不僅可以看自己每天的運動步數(shù),還可以看到朋友圈里好友的步數(shù).小明的朋友圈里有大量好友參與了“運動”,他隨機選取了其中30名,其中男女各15名,記錄了他們某一天的走路步數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
男 | 0 | 2 | 4 | 7 | 2 |
女 | 1 | 3 | 7 | 3 | 1 |
(Ⅰ)以樣本估計總體,視樣本頻率為概率,在小明朋友圈里的男性好友中任意選取3名,其中走路步數(shù)低于7500步的有名,求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)如果某人一天的走路步數(shù)超過7500步,此人將被“運動”評定為“積極型”,否則為“消極型”.根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關?
積極型 | 消極型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
附:.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法,其理論依據(jù)是:設實數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和,則是的更為精確的近似值.
我們知道,我國早在《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的古率記載,《隋書律歷志》有如下記載:“南徐州從事史祖沖之更開密法,以圓徑一億為丈,圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數(shù)在盈肭二限之間。密率:圓徑一百一十三,圓周三百五十五。約率,圓徑七,周二十二”,這一記錄指出了祖沖之關于圓周率的兩大貢獻:其一是求得圓周率;其二是得到的兩個近似分數(shù)即:約率為22/7,密率為355/113,他算出的的8位可靠數(shù)字,不但在當時是最精密的圓周率,而且保持世界紀錄一千多年,他對的研究真可謂“運籌于帷幄之中,決勝于千年之外”,祖沖之是我國古代最有影響的數(shù)學家之一,莫斯科大學走廊里有其塑像,1959年10月,原蘇聯(lián)通過“月球3”號衛(wèi)星首次拍下月球背面照片后,就以祖沖之命名一個環(huán)形山,其月面坐標是:東經(jīng)148度,北緯17度.
縱橫古今,關于值的研究,經(jīng)歷了古代試驗法時期、幾何法時期、分析法時期、蒲豐或然性試驗方法時期、計算機時期,己知,試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據(jù),那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分數(shù)為____________
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【題目】已知數(shù)列中,,點在直線上,其中.
(1)令,求證數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項;
(3)設、分別為數(shù)列、的前項和是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,試求出,若不存在,則說明理由.
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【題目】下列命題說法中正確的是
A. 對于實數(shù),“”是或的充分不必要條件
B. 已知都是整數(shù),則命題“若,則不都是奇數(shù)”是假命題
C. “若,則關于的方程有實根”的逆否命題為假命題
D. 命題“全等三角形的面積相等”的否命題為真命題
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