1.在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$(t為參數(shù),α∈(0,$\frac{π}{2}$)),以原點O為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=$\frac{4cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,線段AB的中點橫坐標為1,求直線l的普通方程.

分析 (1)由$ρ=\frac{4cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρ2sin2θ=4ρcosθ;利用極坐標與直角坐標互化公式可得曲線C的直角坐標方程.
(2)將直線參數(shù)方程代入拋物線方程整理得sin2α•t2-4cosα•t+4=0;利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式即可得出.

解答 解:(1)由$ρ=\frac{4cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρ2sin2θ=4ρcosθ;
又x=ρcosθ,y=ρsinθ,
∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x.
(2)將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.(t為參數(shù),α∈(0,\frac{π}{2}))$代入y2=4x,
整理得sin2α•t2-4cosα•t+4=0;
∴線段AB的中點對應參數(shù)為${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=\frac{2cosα}{{{{sin}^2}α}}$;
又線段AB的中點橫坐標為1,
∴$-1+\frac{{2{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α}}=1$,即tan2α=1.
又$α∈(0,\frac{π}{2})$,則tanα=1,
∴直線l的普通方程為y=x+1.

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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16.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$,(α為參數(shù)),M是C1上的動點,P點滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$,P點的軌跡為曲線C2
(1)求C2的參數(shù)方程;
(2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線θ=$\frac{π}{3}$與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|.

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(2)若2f(x)-m+1=0在[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{12}$]有實根,求m的取值范圍.

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