Question

5．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]時(shí)f（x）=1-|x|，又g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}-\frac{1}{x+1}，x≤1}\\{\frac{elnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，則方程g（x）=f（x）在區(qū)間[-2016，2016]上實(shí)根的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，根據(jù)分式函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]時(shí)f（x）=1-|x|，
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
當(dāng)x≤1時(shí)，g（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{x+1}$，
當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）為增函數(shù)，且g（x）＞$\frac{3}{2}$，
當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，g（x）為增函數(shù)且g（x）≤1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=$\frac{elnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$
則當(dāng)g′（x）＞0得1-lnx＞0，即1＜x＜e，
當(dāng)g′（x）＜0得1-lnx＜0，即x＞e，
即當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值g（e）=$\frac{elne}{e}$=1，
則g（2）＜g（e）=1，
作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，
則由圖象知，函數(shù)函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，
則（1，3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則每一個(gè)周期內(nèi)（2k-1，2k+1]內(nèi)都有兩個(gè)零點(diǎn)，
則在（2013，2015]內(nèi)有2個(gè)，則[2015，2016]內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，
共有2018-1-1=2016，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．