Question

【題目】已知橢圓 的左，右焦點(diǎn)，，上頂點(diǎn)為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若點(diǎn).為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則是否存在常數(shù)，使得點(diǎn)到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)和這個(gè)定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 時(shí)，

【解析】

（Ⅰ）結(jié)合題目條件得，再由條件的面積最大值為得，結(jié)合，聯(lián)立方程組即可求出，從而得到橢圓方程.

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，求出原點(diǎn)到直線的距離，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理得到，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及將轉(zhuǎn)化為，其對(duì)任意恒成立，從而得到關(guān)于和的方程組，從而求出和；再驗(yàn)證斜率不存在的情況也符合.

(Ⅰ)由題得， ，解得 ，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)設(shè) ，，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，

設(shè)其直線方程為：，

則原點(diǎn)到直線的距離為，

聯(lián)立方程，

化簡得，，

由得，

則，，

即對(duì)任意的恒成立，

則 ，，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也成立.

故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線AB的距離為定值.