Question

9．設(shè)橢圓E₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的兩個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成一個面積2的正方形，P是E₁上的動點(diǎn)，橢圓E₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（1）若橢圓E₂上的點(diǎn)Q滿足：$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$（λ＞0），求λ的最大值；
（2）設(shè)E₁在P處的切線為l，l與E₂交于A，B兩點(diǎn)，求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面積公式可得b=c=1，由a，b，c的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到橢圓方程，設(shè)直線OP的方程為y=kx（k＞0），分別代入兩個橢圓方程，求得橫坐標(biāo)，再由向量的坐標(biāo)表示，化簡整理運(yùn)用不等式的性質(zhì)可得最大值；
（2）求得P處的切線的斜率和切線的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，求得O到AB的距離，求得△ABO的面積，化簡整理運(yùn)用不等式的性質(zhì)，可得最大值．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{1}{2}$•2b•2c=2，且b=c，
解得b=c=1，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
設(shè)直線OP的方程為y=kx（k＞0），
代入橢圓x²+2y²=2，可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，取x_P=$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，
代入橢圓x²+4y²=8，可得x²=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$．取x_Q=$\sqrt{\frac{8}{1+4{k}^{2}}}$，
由$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$（λ＞0），可得λ=$\frac{{x}_{Q}}{{x}_{P}}$=2$\sqrt{\frac{1+2{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{\frac{1}{2-\frac{1}{1+2{k}^{2}}}}$≤2，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，λ取得最大值2；
（2）對橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1兩邊對x求導(dǎo)，可得x+2yy′=0，
設(shè)P（m，n），可得切線的斜率為k=-$\frac{m}{2n}$，
可得切線的方程為y-n=-$\frac{m}{2n}$（x-m），
由m²+2n²=2，可得mx+2ny=2，
代入橢圓x²+4y²=8，可得（n²+m²）x²-4mx+4-8n²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4-8{n}^{2}}{{n}^{2}+{m}^{2}}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2{n}^{2}+2{m}^{2}-1}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
又O到直線的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}}$，
即有三角形OAB面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{2\sqrt{2{m}^{2}+2{n}^{2}-1}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
令m²+n²=t，1≤t≤$\sqrt{2}$，
即有S=2$\sqrt{\frac{2}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{-（\frac{1}{t}-1）^{2}+1}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即P（0，±1）時，S取得最大值2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用正方形的面積公式，考查向量共線的坐標(biāo)表示，同時考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．