Question

19．求下列各條件下二次函數(shù)的表達(dá)式：
（1）函數(shù)最大值為2，圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，且經(jīng)過點(diǎn)（3，-1）；
（2）圖象的頂點(diǎn)為（1，15），且與x軸兩個交點(diǎn)之間的距離為6；
（3）圖象的頂點(diǎn)為（1，15），它與x軸交于兩點(diǎn)（x₁，0）和（x₂，0），且x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$=32．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式和過定點(diǎn)問題得到答案．
（2）由二次函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式和與x軸交點(diǎn)距離問題得到答案．
（3）由二次函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式和兩根的韋達(dá)定理得到答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)最大值為2，圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，
∴函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），
由二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式得y=a（x-1）²+2，
∵經(jīng)過點(diǎn)（3，-1），
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴二次函數(shù)表達(dá)式是y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+2，
（2）∵圖象的頂點(diǎn)為（1，15），
∴由二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式得y=a（x-1）²+15，
∵與x軸兩個交點(diǎn)之間的距離為6，
∴$\sqrt{△}$=6，
∴a=-6，
由二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式得y=-6（x-1）²+15．
（3）∵圖象的頂點(diǎn)為（1，15），
∴由二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式得y=a（x-1）²+15，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a+15}{a}$
∴x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$=（x₁+x₂）³-3（x₁+x₂）x₁•x₂=32
∴a=-3
∴由二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式得y=-3（x-1）²+15．

點(diǎn)評 本題考查1）由二次函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式和過定點(diǎn)問題，與x軸交點(diǎn)距離問題，兩根的韋達(dá)定理．