Question

16．已知f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），且f（e^x）=x+e^2x，則f′（x）的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先通過換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：令e^x=t，則x=lnt，（t＞0），
∴f（t）=lnt+t²，
∴f（x）=lnx+x²，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{1}{x}•2x}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{1}{x}$即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，“=”成立，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．