Question

17．如圖所示的多面體EF-ABCD中，AF⊥底面ABCD，AF∥CE，四邊形ABCD為正方形，AF=2AB=2CE．
（1）求證：EF⊥平面BED；
（2）當(dāng)三棱錐E-BDF的體積為4時(shí)，求多面體EF-ABCD的表面積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，可得AC⊥BD，再由AF⊥底面ABCD，得到平面ACEF⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得BD⊥平面ACEF，則BD⊥EF，設(shè)CE=a，得AB=a，AF=2a，通過求解直角三角形得$O{E}^{2}={a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{3}{2}{a}^{2}$，$O{F}^{2}=4{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{9}{2}{a}^{2}$，$E{F}^{2}={a}^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}=3{a}^{2}$，由勾股定理可得EF⊥OE，由線面垂直的判定EF⊥平面BED；
（2）由三棱錐E-BDF的體積為4，結(jié)合等積法得三棱錐F-BDE的體積為4，代入三棱錐體積公式求得a值，則多面體EF-ABCD的表面積可求．

解答 （1）證明：如圖，
連接AC，BD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
設(shè)AC∩BD=O，連接AO，EO，
∵AF⊥底面ABCD，AF?平面ACEF，
∴平面ACEF⊥平面ABCD，
又平面ACEF∩平面ABCD，
∴BD⊥平面ACEF，則BD⊥EF，
設(shè)CE=a，由AF=2AB=2CE，得AB=a，AF=2a，
∴AO=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
則$O{E}^{2}={a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{3}{2}{a}^{2}$，$O{F}^{2}=4{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{9}{2}{a}^{2}$，
過E作EG⊥AF于G，則$E{F}^{2}={a}^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}=3{a}^{2}$，
∵EF²+OE²=OF²，
∴EF⊥OE，又OE∩BD=O，
∴EF⊥平面BED；
（2）三棱錐E-BDF的體積為4，即三棱錐F-BDE的體積為4，
∴${V}_{F-BED}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\frac{\sqrt{6}}{2}a×\sqrt{3}a=4$，
解得：a=2．
∴多面體EF-ABCD的表面積為S=2×2+2×$\frac{1}{2}×2×2$+2×$\frac{1}{2}×2×4$+2×$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×12$=$16+24\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了等積法求三棱錐的體積，是中檔題．