Question

15．已知函數(shù)f（x）=-x²+2bx+c，任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，則實數(shù)b的取值范圍為b≥0．

Answer 1

分析 若任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，則函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，結合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x）=-x²+2bx+c的圖象是開口朝下，且以直線x=b為對稱軸的拋物線，
故b≥0，
故答案為：b≥0

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．