Question

7．設(shè)f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+9{9}^{x}+a•10{0}^{x}}{100}$，其中a是實(shí)數(shù)，如果f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意和對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零得：x∈（-∞，1]時(shí)，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+9{9}^{x}+a•10{0}^{x}}{100}＞0$恒成立，利用分離常數(shù)法化簡，再構(gòu)造函數(shù)y=-[${（\frac{1}{100}）}^{x}$+${（\frac{2}{100}）}^{x}$+${（\frac{3}{100}）}^{x}+…+$${（\frac{99}{100}）}^{x}$]，利用指數(shù)函數(shù)的求出函數(shù)的值域，即可求出a的取值范圍．

解答 解：由題意可得，當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+9{9}^{x}+a•10{0}^{x}}{100}＞0$恒成立，
則1+2^x+3^x+…+99^x+a•100^x＞0恒成立，
所以a＞-[${（\frac{1}{100}）}^{x}$+${（\frac{2}{100}）}^{x}$+${（\frac{3}{100}）}^{x}+…+$${（\frac{99}{100}）}^{x}$]在x∈（-∞，1]上恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)y=-[${（\frac{1}{100}）}^{x}$+${（\frac{2}{100}）}^{x}$+${（\frac{3}{100}）}^{x}+…+$${（\frac{99}{100}）}^{x}$]在（-∞，1]遞增，
所以y≤-（$\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+…+\frac{99}{100}$）=-$\frac{1+2+3+…+99}{100}$=$-\frac{99}{2}$，
則a＞$-\frac{99}{2}$，
即a的取值范圍是（$-\frac{99}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離常數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．