Question

4．已知橢圓上一點與兩個焦點的距離之和為10，焦距是函數(shù)：f（x）=x²-6x-16的零點．則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$或$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

Answer 1

分析 由題意，f（x）=x²-6x-16的零點為-2，8，焦距是函數(shù)：f（x）=x²-6x-16的零點，可得c=4，利用橢圓上一點與兩個焦點的距離之和為10，可得a=5，b=3，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意，f（x）=x²-6x-16的零點為-2，8，焦距是函數(shù)：f（x）=x²-6x-16的零點，∴2c=8，c=4
∵橢圓上一點與兩個焦點的距離之和為10，
∴2a=10，∴a=5，
∴b=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$或$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$或$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．