Question

13．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（a-c）sinA+csinC-bsinB=0．
（1）求B的值；
（2）求sinA+sinC的最大值及此時(shí)A，C的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，再由余弦定理求出cosB，由內(nèi)角的范圍求出B；
（2）由（I）和內(nèi)角和定理求出C，代入sinA+sinC后利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出式子sinA+sinC的最大值，以及此時(shí)A，C的值．

解答 解：（1）由已知得，（a-c）sinA+csinC-bsinB=0，
根據(jù)正弦定理得（a-c）a+c²-b²=0，
化簡(jiǎn)得b²=a²+c²-ac     …（3分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
所以cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π得B=$\frac{π}{3}$ …（6分）
（II）由（I）得：C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，
sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=$\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$              …（10分）
當(dāng)$A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$時(shí)，
所以當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，且C=$\frac{π}{3}$，sinA+sinC取得最大值$\sqrt{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．