Question

2．在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC
（2）求此空間幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO，過E作EF⊥平面ABC，則F在BO上．可證四邊形DOFE是平行四邊形，于是DE∥BO，得出DE∥平面ABC；
（2）將幾何體分解成兩個(gè)三棱錐E-ACD和E-ABC，分別計(jì)算小三棱錐的體積即可．

解答 證明：（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO，
∵△ACD，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴DO⊥AC，DO=$\sqrt{3}$，
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，
∴DO⊥平面ABC，
過E作EF⊥平面ABC，則F在BO上．∴EF∥DO．
∵BE=2，∠EBF=60°，∴BF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴DO$\stackrel{∥}{=}$EF，∴四邊形DOFE是平行四邊形，
∴DE∥OF，
又DE?平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，BO⊥AC，BO?平面ABC，
∴BO⊥平面ACD，又BO∥DE，
∴DE⊥平面ACD．
∵DE=OF=$\sqrt{3}-1$，
∴V_E-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×（\sqrt{3}-1）$=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
V_E-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=1．
∴幾何體體積V=V_E-ACD+V_E-ABC=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．