Question

12．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）在區(qū)間（${\frac{1}{e}$，e）上有兩個極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點(diǎn)，求出a的臨界值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點(diǎn)，
等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點(diǎn)，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，
如圖示：
，
由圖可知，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個交點(diǎn)．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）
故答案為：$（0，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，二次求導(dǎo)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．