Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}-{e^x}$（a＞0）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）$f'（x）=\frac{1}{a}-{e^x}$，令f′（x）=0，則$x=ln\frac{1}{a}$．對(duì)ln$\frac{1}{a}$與1，2的大小關(guān)系分類討論即可得出．
（Ⅱ）令$f（x）=\frac{x}{a}-{e^x}=0$，則$a=\frac{x}{e^x}$．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=a與函數(shù)$g（x）=\frac{x}{e^x}$有2個(gè)交點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（I）$f'（x）=\frac{1}{a}-{e^x}$，令f′（x）=0，則$x=ln\frac{1}{a}$．
當(dāng)$ln\frac{1}{a}≥2$，即$0＜a≤\frac{1}{e^2}$，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{2}{a}-{e^2}$；
當(dāng)$1＜ln\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{e^2}＜a＜\frac{1}{e}$，f（x）在$[{1，ln\frac{1}{a}}]$上單調(diào)遞增，在$[{ln\frac{1}{a}，2}]$上單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{max}}=f（{ln\frac{1}{a}}）=\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}-\frac{1}{a}$；
當(dāng)$ln\frac{1}{a}≤1$，即$a≥\frac{1}{e}$，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{a}-e$．
（Ⅱ）令$f（x）=\frac{x}{a}-{e^x}=0$，則$a=\frac{x}{e^x}$．
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=a與函數(shù)$g（x）=\frac{x}{e^x}$有2個(gè)交點(diǎn)．
令$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}=0$，則x=1．
當(dāng)x＜1時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值也為最大值$g（1）=\frac{1}{e}$．
且x→+∞，g（x）→0；x→-∞，g（x）→-∞．
故$a∈（{0，\frac{1}{e}}）$時(shí)，y=a與函數(shù)$g（x）=\frac{x}{e^x}$有2個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．