Question

1．證明：函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 可設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，從而可判斷f（x₁），f（x₂）分別在區(qū)間（0，2）和[2，+∞）上的大小關(guān)系，這樣即證出f（x）的單調(diào)性．

解答 證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∵x₁，x₂∈（0，2）時(shí)，0＜x₁x₂＜4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減；
同理，x₁，x₂∈[2，+∞）上時(shí)，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂）的大小關(guān)系，作差后是分式的一般要通分．