Question

心理學研究表明，學生在課堂上各時段的接受能力不同．上課開始時，學生的興趣高昂，接受能力漸強，隨后有一段不太長的時間，學生的接受能力保持較理想的狀態(tài)；漸漸地學生的注意力開始分散，接受能力漸弱并趨于穩(wěn)定．設上課開始x分鐘時，學生的接受能力為f（x）（f（x）值越大，表示接受能力越強），f（x）與x的函數(shù)關系為：
f（x）=

-0．1x2+2.6x+44，0＜x≤10 60，10＜x≤15 -3x+105，15＜x≤25 30，25＜x≤40

（1）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多少時間？
（2）試比較開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘，學生的接受能力的大��；
（3）若一個數(shù)學難題，需要56的接受能力（即f（x）≥56）以及12分鐘時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講述完這個難題？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）求學生的接受能力最強其實就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可；
（2）比較5分鐘、20分鐘、35分鐘學生的接受能力大小，方法是把x=5代入第一段函數(shù)中，而x=20要代入到第三段函數(shù)中，x=35代入第四段函數(shù)，比較大小即可
（3）在每一段上解不等式f（x）≥56，求出滿足條件的x，從而得到接受能力56及以上的時間，然后與12進行比較即可．

解答： 解：（1）由題意可知：0＜x≤10
f（x）=-0.1（x-13）²+60.9
所以當x=10時，f（x）的最大值是60，…（2分）
又10＜x≤15，f（x）=60              …（3分）
所以開講后10分鐘，學生的接受能力最強，并能維持5分鐘．…（4分）
（2）由題意可知：f（5）=54.5，f（20）=45，f（35）=30 …（5分）
所以開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘的學生的接受能力從大小依次是
開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘的接受能力；…（6分）
（3）由題意可知：
當0＜x≤10，f（x）=-0.1（x-13）²+60.9≥56
解得：6≤x≤10                 …（7分）
當10＜x≤15時，f（x）=60＞56，滿足要求； …（8分）
當15＜x≤25時，-3x+105≥56
解得：15＜x≤16

1

3

               …（9分）
因此接受能力56及以上的時間是10

1

3

分鐘小于12分鐘．
所以老師不能在所需的接受能力和時間狀態(tài)下講述完這個難題．…（10分）

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，此題學生容易出錯，原因是學生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點．