Question

已知銳角△ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-cosωx（ω＞0），且f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將已知第一個等式代入表示出cosC的值，第二個等式利用正弦定理化簡，代入表示出的cosC求出cosC的值，即可求出角C的大��；
（Ⅱ）先確定函數(shù)解析式，再求f（A）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因在△ABC中，a²+b²-c²=2abcosC，
將a²+b²=6abcosC代入得：6abcosC-c²=2abcosC，
∴cosC=

c2

4ab

…（2分）
又因為sin²C=2sinAsinB，則由正弦定理得：c²=2ab…（4分）
所以cosC=

c2

4ab

=

2ab

4ab

=

1

2

所以C=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin(ωx-

π

3

)
由已知

2π

ω

=π，ω=2，則f(A)=

3

sin(2A-

π

3

)，…（8分）
因為C=

π

3

，B=

2π

3

-A，由于0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，所以

π

6

＜A＜

π

2

…（10分）
所以0＜2A-

π

3

＜

2π

3

根據(jù)正弦函數(shù)圖象，所以0＜f(A)≤

3

…（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．