Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²+y²+DX+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）若四邊形ABCD的面積為40，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為8，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，且∠ADC為銳角，求圓的方程，并求出B，D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G，OH⊥AB，且垂足為H，試用平面解析幾何的研究方法判斷點(diǎn)O、G、H是否共線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知對(duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積$S=\frac{{|{AC}|•|{BD}|}}{2}$，連接MA，得M（0，3），由此能求出結(jié)果．
（2）設(shè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，0）．則點(diǎn)G的坐標(biāo)為$（{\frac{c}{2}，\fract8bt6bt{2}}）$，使G、O、H共線，只需證$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=0$即可，由此能證明G、O、H必定三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）由題意知對(duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積$S=\frac{{|{AC}|•|{BD}|}}{2}$，
∵S=40，AC=8，∴BD=10．…（2分）
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，∴∠A為直角，∵四邊形是圓M的內(nèi)接四邊形，∴BD=2r=10，r=5，
連接MA，解得MO=3，∴M（0，3），
∴圓M的方程為x²+（y-3）²=25，…（6分）
令x=0，y=8或y=-2，∴B（0，8），D（0，-2）…（8分）
證明：（2）設(shè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，0）．
則點(diǎn)G的坐標(biāo)為$（{\frac{c}{2}，\fraclcaskct{2}}）$，即$\overrightarrow{OG}=（{\frac{c}{2}，\frac0gy0fre{2}}）$…（12分）
又$\overrightarrow{AB}=（{-a，b}）$，且AB⊥OH，故使G、O、H共線，只需證$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=0$即可
而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=\frac{bd-ac}{2}$，且對(duì)于圓M的一般方程x²+y²+DX+Ey+F=0，
當(dāng)y=0時(shí)，可得x²+DX+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，
于是有x_Ax_C=ac=F．
同理，當(dāng)x=0時(shí)，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，
于是有y_By_D=bd=F，所以，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=\frac{bd-ac}{2}=0$，即AB⊥OG，
故G、O、H必定三點(diǎn)共線     …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的求法，考查三點(diǎn)共線的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．