Question

18．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sinA=acosC，c=$\sqrt{3}$．
（1）求角C；
（2）求asinA+bsinB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求$tanC=\sqrt{3}$，即可得解三角形內(nèi)角C的值．
（2）根據(jù)正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得asinA+bsinB=2+sin（2A-$\frac{π}{6}$），根據(jù)范圍$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求$sin（2A-\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，進而得解asinA+bsinB的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{cosC}=\frac{c}{sinC}$，
因為：$c=\sqrt{3}$，
所以：$tanC=\sqrt{3}$，
所以：$C=\frac{π}{3}$．----------（4分）
（2）根據(jù)正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
所以：a=2sinA，b=2sinB，
可得：asinA+bsinB=2sin²A+2sin²B=2-cos2A-cos2B，
因為：$A+B=\frac{2}{3}π$，
所以：$asinA+bsinB=2-cos2A-cos（\frac{4}{3}π-2A）$
=$2-\frac{1}{2}cos2A+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A=2+sin（2A-\frac{π}{6}）$，
因為：$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以：$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
所以：$sin（2A-\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，
所以：$2+sin（2A-\frac{π}{6}）∈（\frac{3}{2}，3]$，
所以：$asinA+bsinB∈（\frac{3}{2}，3]$．-----------（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．