Question

8．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）試在線段AC上一點P，使得PF與BC所成的角是60°．

Answer 1

分析 （1）要證AM∥平面BDE，直線證明直線AM平行平面BDE內(nèi)的直線OE即可；
（2）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，說明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大�。�
（3）設出線段AC上P點的坐標，由PF與CD所成的角是60°，得到向量夾角的余弦值為$\frac{1}{2}$，得到關于t 的等式，由此可求得P點的坐標

解答 解：（1）記AC與BD的交點為O，連接OE，
∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，
∴AM∥OE
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂線定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角
在Rt△ASB中，AS=$\frac{AD•AF}{DF}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AB=$\sqrt{2}$，
∴tan∠ASB=$\sqrt{3}$，∠ASB=60°，
∴二面角A-DF-B的大小為60°；
（3）如圖設P（t，t，0）（0≤t≤$\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{PF}$=（$\sqrt{2}$-t，$\sqrt{2}$-t，1），$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}$，0，0）
又∵$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{CD}$夾角為60°，∴$\frac{|2-\sqrt{2}t|}{\sqrt{（\sqrt{2}-t）^{2}+（\sqrt{2}-t）^{2}+1}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
解之得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（舍去），
故點P為AC的中點時滿足題意．

點評 本題考查直線與平面平行，二面角的知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題；（1，2也可以利用空間直角坐標系）