Question

13．已知函數(shù)f（x）=|e^x-1|，a＞0＞b，f（a）=f（b），則b（e^a-2）的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{e}$
• B． 1
• C． 2
• D． e

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得f（a）=e^a-1=f（b）=1-e^b，所以e^a+e^b=2，則b（e^a-2）=-be^b．構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出b（e^a-2）的最大值．

解答 解：根據(jù)題意可得f（a）=e^a-1=f（b）=1-e^b，
所以e^a+e^b=2，則b（e^a-2）=-be^b．
令g（x）=-xe^x（x＜0），則g′（x）=-e^x-xe^x=-（x+1）e^x，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）＜0，
所以$g{（x）_{max}}=g（-1）=\frac{1}{e}$．
故選：A．

點評 本題考查b（e^a-2）的最大值，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．