Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈[0，2π]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由T=$\frac{2π}{ω}$得到最小正周期；
（2）求出2x-$\frac{π}{6}$的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性求出f（x）的值域；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，再討論k的值求出增區(qū)間并與[0，2π]求交集即可．

解答 解：（1）因為f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
所以T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）因為x∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
所以0≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
所以f（x）的值域為：[0，$\frac{3}{2}$]；
（3）因為當(dāng)$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）即-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ（k∈Z）時，f（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)k=0時，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
當(dāng)k=1時，x∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
當(dāng)k=2時，x∈[$\frac{11π}{6}$，$\frac{7π}{3}$]，
又因為x∈[0，2π]，
所以增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，和[$\frac{11π}{6}$，2π]．

點評 本題主要考察正弦型三角函數(shù)的值域和單調(diào)性的求法，主要考察學(xué)生整體思想．