Question

16．已知F是拋物線y²=2x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，若直線AB的斜率為3，則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線的方程，求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F（$\frac{1}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{1}{2}$，
由拋物線的定義，可得|AF|=x₁+$\frac{1}{2}$，|BF|=x₂+$\frac{1}{2}$，
由AF|+|BF|=3，可得x₁+x₂+1=3，
即x₁+x₂=2，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，
AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=3，
即為y₁+y₂=$\frac{2}{3}$，則$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：（1，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，注意運(yùn)用拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．