Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于點(diǎn)（1，0），則f（x）的極值為（　�。�

• A． 極大值為$\frac{4}{27}$，極小值為0
• B． 極大值為0，極小值為$\frac{4}{27}$
• C． 極小值為-$\frac{4}{27}$，極大值為0
• D． 極大值為-$\frac{4}{27}$，極小值為0

Answer 1

分析 因?yàn)閒（x）與x軸相切且切點(diǎn)為（1，0）則（1，0）代入到f（x）中得到p+q=1；又因?yàn)橄嗲袝r(shí)函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)即根的判別式=0得p²+4q=0，解出p、q的值確定出f（x），求出導(dǎo)數(shù)找出駐點(diǎn)分區(qū)間討論函數(shù)的增減性找出函數(shù)的極值即可．

解答 解：f′（x）=3x²-2px-q，
由函數(shù)f（x）的圖象與x軸切于點(diǎn)（1，0）得：
p+q=1，∴q=1-p①，p²+4q=0②，
將①代入②中得：p²-4p+4=0，
解出p=2，q=-1，
則函數(shù)f（x）=x³-2x²+x
則f′（x）=3x²-4x+1令其=0得到：x=1或x=$\frac{1}{3}$，
①當(dāng)x≤$\frac{1}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，極值=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
②當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）函數(shù)單調(diào)增，極值為f（1）=0
故比較大小得：f（x）的極大值為$\frac{4}{27}$，極小值為0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的能力．