Question

1．已知（$\root{3}{x}$+2x²）²ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和比（5x-3）ⁿ的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和大于992．
（1）求n的值；
（2）求（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2²ⁿ-（5-3）ⁿ=992，求得n=5；
（2）寫出（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展開式的通項(xiàng)公式，由x得指數(shù)等于0求得r值，則常數(shù)項(xiàng)可求．

解答 解：（1）由題意可得2²ⁿ-（5-3）ⁿ=992，解得2ⁿ=32，n=5；
（2）（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ =（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵ ．
由${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（\sqrt{x}）^{5-r}（-\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{\frac{15-5r}{6}}$．
令15-5r=0，得r=3．
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的常數(shù)項(xiàng)為$-{C}_{5}^{3}=-10$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．