已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),
(1)若x=0為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),且f(x)在區(qū)間(-6,-4),(-2,0)上單調(diào)且單調(diào)性相反,求
b
a
的取值范圍.
(2)當(dāng)b=3a,且-2是f(x)=ax3+3ax2+d的一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由已知得f'(x)=3ax2+2bx+c,f'(0)=0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出
b
a
的取值范圍.
(2)由已知得f(-2)=-8a+12a+d=0,從而f'(x)=3ax2+6ax,令f'(x)=0,x=0或x=-2.列表討論能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答: 解:(1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx2+cx+d,
所以f'(x)=3ax2+2bx+c.
又f(x)在x=0處有極值,
所以f'(0)=0即c=0,
所以f'(x)=3ax2+2bx.
令f'(x)=0,所以x=0或x=-
2b
3a

又因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-6,-4),(-2,0)上單調(diào)且單調(diào)性相反,
所以-4≤-
2b
3a
≤-2
所以3≤
b
a
≤6
.(5分)
(2)因?yàn)閎=3a,且-2是f(x)=ax3+3ax2+d的一個(gè)零點(diǎn),
所以f(-2)=-8a+12a+d=0,
所以d=-4a,從而f(x)=ax3+3ax2-4a,
所以f'(x)=3ax2+6ax,令f'(x)=0,所以x=0或x=-2.(7分)
列表討論如下:
x-3(-3,-2)-2[(-2,0)0(0,2)2
a>0a<0a>0a<0a>0a<0
f'(x)+-0-+0+-
f(x)-4a0-4a16a
所以當(dāng)a>0時(shí),若-3≤x≤2,則-4a≤f(x)≤16a.
當(dāng)a<0時(shí),若-3≤x≤2,則16a≤f(x)≤-4a.
從而
a>0
16a≤2
-4a≥-3
a<0
16a≥-3
-4a≤2
,即0<a≤
1
8
-
3
16
≤a<0

所以存在實(shí)數(shù)a∈[-
3
16
,0)∪(0,
1
8
]
,滿足題目要求. (13分)
點(diǎn)評:本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
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設(shè)非零向量
a
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
+
b
|,則
a
a
-
b
的夾角為( 。
A、60°B、30°
C、120°D、150°

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如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出值x=
 

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x
y
)=f(x)-f(y),且x>1時(shí),f(x)<0,又f(
1
2
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1
x
+1
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A、(O,1)
B、(1,2)
C、(2,3)
D、(3,4)

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x+1,(x≤1)
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,則f[f(
5
2
)]=
 

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A、“¬p或q”是假命題
B、“¬p且q”是真命題
C、“p或¬q”是真命題
D、“¬p且q”是真命題

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