設(shè)f（x）的定義域?yàn)镽+，對(duì)任意x、y∈R+，都有f（
x
y
）=f（x）-f（y），且x＞1時(shí)，f（x）＜0，又f（
1
2
）=1．
（1）求證：f（x）在定義域單調(diào)遞減；
（2）解不等式f（x）+f（5-x）≥-2．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義：設(shè)x1＞x2＞0，及已知條件即可判斷出f（x1）-f（x2）的符號(hào)，從而證出f（x）在定義域單調(diào)遞減；
（2）根據(jù)已知條件可求出f（2）=-1，所以原不等式可變成f（x）+f（5-x）≥2f（2），所以根據(jù)f（x）的單調(diào)性及定義域即可解出該不等式．
解答： 解：（1）設(shè)x1＞x2＞0，則
x1
x2
＞1；
由已知條件得：f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)＜0；
∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）取x=y=1，則f（1）=0，∴f（
1
2
）=f（1）-f（2）=-f（2）=1；
∴f（2）=-1，2f（2）=-2；
∴原不等式變成：f（x）+f（5-x）≥2f（2）；
∴f（x）-f（2）≥f（2）-f（5-x）；
∴f(
x
2
)≥f(
2
5-x
)；
∴根據(jù)f（x）的定義域及單調(diào)性得：
x＞0
5-x＞0
x
2
≤
2
5-x
，解得1≤x≤4；
∴原不等式的解集為：[1，4]．
點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的定義域，單調(diào)性的定義及根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2，求解不等式f（3-2x）＞4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
，
c
是空間的一個(gè)單位正交基底，向量
a
+
b
，
a
-
b
，
c
是空間的另一個(gè)基底．若向量
p
在基底
a
，
b
，
c
下的坐標(biāo)是（1，2，3），則
p
在基底
a
+
b
，
a
-
b
，
c
下的坐標(biāo)是（　�。�
A、（
3
2
，-
1
2
，3）
B、（-
3
2
，
1
2
，-3）
C、（-
3
2
，-
1
2
，3）
D、（
3
2
，
1
2
，-3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
均為單位向量，且|
a
+
b
|=1，則
a
，
b
夾角θ的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2mx+4在[-1，2]上的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算：sin210°+sin250°+cos40°cos80°=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），
（1）若x=0為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，且f（x）在區(qū)間（-6，-4），（-2，0）上單調(diào)且單調(diào)性相反，求
b
a
的取值范圍．
（2）當(dāng)b=3a，且-2是f（x）=ax3+3ax2+d的一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)分段函數(shù)f（x）=
x2+4x+6，x≤0
-x+6，x＞0
，則不等式f（x）＜f（-1）的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=6，若x0是方程f（x）-f′（x）=4的一個(gè)解，且x0∈（a-1，a）（a∈N*），則a=
 
．

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