Question

7．已知e=2.71828…，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-bx+alnx存在極大值點(diǎn)x₀，且對于b的任意可能取值，恒有極大值f（x₀）＜0，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． 存在x₀=$\sqrt{a}$，使得f（x₀）＜-$\frac{1}{e}$
• B． 存在x₀=$\sqrt{a}$，使得f（x₀）＞-e
• C． a的最大值為e³
• D． 0＜a＜e³

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在極小值等價為f′（x）=0有解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與判別式△之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x-b+$\frac{a}{x}$，
若函數(shù)f（x）存在極大值點(diǎn)x₀，
則f′（x）=0有解，
即x²-bx+a=0有兩個不等的正根，
則 $\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4a＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=b＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{1}=a＞0}\end{array}\right.$，得b＞2$\sqrt{a}$，（a＞0），
由f′（x）=0得x₁=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4a}}{2}$，x₂=$\frac{b+\sqrt{^{2}-4a}}{2}$，
分析易得f（x）的極大值點(diǎn)為x₁=x₀，
∵b＞2$\sqrt{a}$，（a＞0），
∴x₁=x₀=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4a}}{2}$=$\frac{2a}{b+\sqrt{^{2}-4a}}$∈（0，$\sqrt{a}$），
則f（x）_極大值=f（x₀）=x₀²-bx₀+alnx₀=$\frac{1}{2}$x₀²-x₀²-a+alnx₀=-$\frac{1}{2}$x₀²+alnx₀-a，
設(shè)g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²-a，x∈（0，$\sqrt{a}$），
f（x）的極大值恒小于0等價為g（x）恒小于0，
∵g′（x）=$\frac{a}{x}$-x=$\frac{a{-x}^{2}}{x}$＞0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞增，
故g（x）＜g（$\sqrt{a}$）=aln$\sqrt{a}$-$\frac{3}{2}$a≤0，
得ln$\sqrt{a}$≤$\frac{3}{2}$，即a≤e³，
故a的最大值為是e³，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)極值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度大．