已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且在x軸截得的弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)M的直線m交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為2時，求直線m的方程．


解析：(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則其半徑r＝.

依題意，r2－y2＝1，即x2＋(y－1)2－y2＝1，

整理得曲線E的方程為x2＝2y.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＝x，y2＝x.

設(shè)直線m方程為y＝kx＋，代入曲線E方程，得

x2－2kx－1＝0，則x1＋x2＝2k.

對y＝x2求導(dǎo)，得y′＝x.

于是過點(diǎn)A的切線為y＝x1(x－x1)＋x，即y＝x1x－x.①

由①同理得過點(diǎn)B的切線為y＝x2x－x.②

設(shè)C(x0，y0)，由①、②及直線m方程得

x0＝＝k，y0＝x1x0－x＝－.

M為拋物線的焦點(diǎn)，y＝－為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義，得

|AB|＝y1＋＋y2＋＝k(x1＋x2)＋2＝2(k2＋1)．

點(diǎn)C到直線m的距離d＝＝.

所以△ABC的面積S＝|AB|·d＝(k2＋1) .

由已知(k2＋1) ＝2，有且僅有k＝±1.

故直線m的方程為y＝±x＋.


練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（    ）

（A）是偶函數(shù)      （B）在上是增函數(shù) 

（C）是周期函數(shù)    （D）的值域為

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已知F1、F2是雙曲線－＝1的焦點(diǎn)，PQ是過焦點(diǎn)F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是__________．

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已知點(diǎn)P(2，－1)．

(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；

(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？

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對于拋物線y2＝4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a,0)滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是(　　)

A．(－∞，0)              B．(－∞，2]

C．[0,2]                  D．(0,2)

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如圖所示，

橢圓＋＝1(a＞0)的離心率e＝，左焦點(diǎn)為F，A，B，C為其三個頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D點(diǎn)，則tan∠BDC的值等于(　　)

A．3      B．－3       C.      D．－

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在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動圓C過定點(diǎn)F(1,0)，且與定直線x＝－1相切．

(1)求動圓圓心C的軌跡C2的方程；

(2)中心在O的橢圓C1的一個焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M(4,0)．若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在曲線C2上，且直線l與橢圓C1有公共點(diǎn)，求橢圓C1的長軸長取得最小值時的橢圓方程．

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以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100    B．(x－1)2＋(y－2)2＝100

C．(x－1)2＋(y－2)2＝25     D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25

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已知直線l：x＋y＝m經(jīng)過原點(diǎn)，則直線l被圓x2＋y2－2y＝0截得的弦長是(　　)

A．1       B.       C.         D．2

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