Question

已知f（x）=

x2

ax+b

（a，b為常數(shù)），且方程f（x）-x+12=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根3和4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）=-2m的兩根為x₁，x₂，求x₁²+x₂²的取值范圍；
（3）解不等式f（x）≥

1

2-x

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)的圖象與圖象變化,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用韋達(dá)定理求得a、b的值，從而求得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)判別式大于或等于零求得m的范圍，并利用韋達(dá)定理求出x₁²+x₂²的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得x₁²+x₂²的范圍．
（3）把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式組，從而求得它的解集．

解答： 解：（1）

x2

ax+b

-x+12=0⇒(1-a)x2+(12a-b)x+12b=0，利用韋達(dá)定理可得

12a-b a-1 =7 12b 1-a =12

⇒

a=-1 b=2

⇒f(x)=

x2

2-x

．
（2）

x2

2-x

=-2m⇒x2-2mx+4m=0，故有

△≥0⇒m≤0或m≥4 x1+x2=2m x1x2=4m

，
則

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-8m∈[0，+∞)．
（3）由題意可得不等式即

x2

2-x

≥

1

2-x

，即

(x+1)(x-1)

x-2

≤0，即

(x-2)(x+1)(x-1)≤0 x-2≠0

 
求得它的解集為（-∞，-1]∪[1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．