Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）x-12，x≤7}\\{（a+2）^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$是R上的增函數(shù)．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax（x∈[1，4]）的最小值為-$\frac{16}{3}$．試比較f{（g（x））與f（$\frac{10}{3}$）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得2-a＞0，a+2＞1，再由單調(diào)性的定義可得7（2-a）-12≤a+2，解不等式即可得到所求范圍；
（Ⅱ）求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，判斷最小值點(diǎn)，解得a=2，再求最大值，由單調(diào)性即可得到所求大�。�

解答 解：（I）由題意可得，當(dāng)x≤7時(shí)，有2-a＞0，解得a＜2；
當(dāng)x＞7時(shí)，有a+2＞1，解得a＞-1；
又7（2-a）-12≤a+2，解得a≥0．
綜上可得0≤a＜2；
（Ⅱ）g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-x²+x+2a，
由g′（x）=0，可得x=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$（舍去）或x=$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
由0≤a＜2，可得$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$∈[1，4]，且為最大值點(diǎn)，
若g（1）為最小值，即有$\frac{1}{6}$+2a=-$\frac{16}{3}$，解得a=-$\frac{11}{4}$（舍去）：
若g（4）為最小值，即有8a-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$，解得a=1，檢驗(yàn)成立．
此時(shí)g（x）的最大值為g（2）=-$\frac{8}{3}$+2+4=$\frac{10}{3}$，
即有g(shù)（x）≤$\frac{10}{3}$，由f（x）在R上遞增，可得
f（g（x））≤f（$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．