Question

19．已知C₁：x²+y²+2kx+k²-1=0，圓C₂：x²+y²+2（k+1）y+k²+2k=0．
（1）當k=1時，判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）設(shè)兩圓的交點為A，B，若∠AC₁B=60°，求兩圓公共弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）求出兩個圓的圓心坐標與半徑，利用圓心距與比較和與 差的關(guān)系判斷即可．
（2）求出公共弦所在的直線系方程，求出圓的圓心與半徑，利用體積轉(zhuǎn)化為圓心與直線的距離，列出方程求解即可．

解答 解：（1）當k=1時，C₁：x²+y²+2x=0，圓的圓心（-1，0），半徑為：1；
圓C₂：x²+y²+4y+3=0．圓心（0，-2），半徑為：1．
兩個圓的圓心距為：$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$＞2．
兩圓的位置關(guān)系是相離．
（2）兩圓公共弦所在的直線方程：2kx-2（k+1）y-2k-1=0．
C₁：x²+y²+2kx+k²-1=0，圓心（-k，0），半徑為1．
兩圓的交點為A，B，若∠AC₁B=60°，可得圓C₁的圓心到直線的距離為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即：$\frac{|-2{k}^{2}-2k-1|}{\sqrt{4{k}^{2}+4（k+1）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，化簡可得k²+k-1=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
兩圓公共弦所在的直線方程為：（-1+$\sqrt{5}$）x-$\sqrt{5}$y-2+$\sqrt{5}$=0或（-1-$\sqrt{5}$）x+$\sqrt{5}$y-2-$\sqrt{5}$=0

點評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．