2.已知點(diǎn)A(0,2).曲線C:y=alnx恒過(guò)定點(diǎn)B,P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的最小值為5,則a=( 。
A.-1B.-$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.1

分析 運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)可得B(1,0),設(shè)P(x,alnx),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得f(x)=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=x-2alnx+4,x∈(0,+∞),再由導(dǎo)數(shù),求得極值點(diǎn)即為最值點(diǎn),對(duì)a討論通過(guò)單調(diào)性即可判斷.

解答 解:曲線C:y=alnx恒過(guò)點(diǎn)B,則令x=1,可得y=0,
即B(1,0),又點(diǎn)A(0,2),設(shè)P(x,alnx),
$\overrightarrow{AP}$=(x,alnx-2),$\overrightarrow{AB}$=(1,-2),
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=f(x)=x-2alnx+4,
由于f(x)=x-2alnx+4在(0,+∞)上有最小值5,
且f(1)=5,故x=1是f(x)的極值點(diǎn),即最小值點(diǎn).
f′(x)=1-$\frac{2a}{x}$=$\frac{x-2a}{x}$,
a<0,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
所以沒(méi)有最小值;故不符合題意;
當(dāng)a>0,x∈(0,2a)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,2a)是減函數(shù),
在(2a,+∞)是增函數(shù),有最小值為f(2a)=5,
即2a-aln2a+4=5,解得a=$\frac{1}{2}$.
故選C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,關(guān)鍵是將數(shù)量積表示為關(guān)于x的函數(shù),通過(guò)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,得到最值求參數(shù).

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A.1B.2C.4D.6

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(Ⅱ)若g(x)=-$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2+2ax(x∈[1,4])的最小值為-$\frac{16}{3}$.試比較f{(g(x))與f($\frac{10}{3}$)的大小,并說(shuō)明理由.

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18.分層抽樣適合的總體是( 。
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