Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²，b=2，則c+$\frac{4}{c}$的最大值為（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 由已知結(jié)合正弦定理可得${a}^{2}=4\sqrt{3}c•sinA$，再與余弦定理結(jié)合可把c+$\frac{4}{c}$化為含有A的三角函數(shù)得答案．

解答 解：由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a² =$\frac{1}{2}bc•sinA$，且b=2，得${a}^{2}=4\sqrt{3}c•sinA$，
又由a²=b²+c²-2bc•cosA，得$8c（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）=4+{c}^{2}$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）=\frac{4+{c}^{2}}{8c}$，
則c+$\frac{4}{c}$=8sin（$A+\frac{π}{6}$）．
∴當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時，c+$\frac{4}{c}$有最大值為8．
故選：B．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活變形能力，是中檔題．