Question

9．圓C：x²+y²=1，直線l：y=kx+2，直線l與圓C交與A，B，若|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|＜|$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OB}$|（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{7}$）
• B． （-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$）
• C． （$\sqrt{7}$，+∞）
• D． （$-∞，-\sqrt{7}$）$∪（\sqrt{7，}+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)向量的減法法則和向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，算出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，得∠AOB為鈍角．由此可得圓心到直線的距離小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r（r為圓的半徑），結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|＜|$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OB}$|
∴平方得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cos∠AOB＜0
因此，∠AOB為鈍角，
∵直線l與圓C交與A，B，
∴圓心到直線的距離小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r（r為圓的半徑）
即$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k＜-$\sqrt{7}$或k＞$\sqrt{7}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線與圓相交滿足的向量不等式，求參數(shù)k的取值范圍．著重考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．