Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-a}{x}$-ax
（Ⅰ）若a$＞\frac{1}{2}$，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）若f（x）=-ax有恰有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對a分類討論；
（Ⅱ）由f（x）=-ax得a=xlnx+1，令g（x）=xlnx+1，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)得f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-a=-$\frac{（ax+a-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=1或x=$\frac{1}{a}$-1，
當(dāng)a≥1時，x=$\frac{1}{a}$-1≤0，令f′（x）＞0得0＜x＜1，于是函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0得x＞1，于是函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時，x=$\frac{1}{a}$-1∈（0，1），
令f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{a}$-1或x＞1，于是函數(shù)在（0，$\frac{1}{a}$-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞減；
令f′（x）＞0得$\frac{1}{a}$-1＜x＜1，于是函數(shù)在（$\frac{1}{a}$-1，1）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若f（x）=-ax，
即lnx+$\frac{1-a}{x}$=0，即a=xlnx+1，
令g（x）=xlnx+1，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴g′（x）=1+lnx，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
令g′（x）＞0得x＞$\frac{1}{e}$，于是函數(shù)（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，于是函數(shù)在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減；
∴g（x）_min=g（e）=1-$\frac{1}{e}$，
又x→0時，f（x）→1，
∵方程f（x）=-ax有恰有一個實(shí)根，
∴y=g（x）與y=a有恰有一個交點(diǎn)，
∴a=1-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查轉(zhuǎn)化劃歸思想及分類討論思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．