Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），長軸長為2$\sqrt{3}$，過右焦點F的直線l與C相交于A，B兩點．O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P在橢圓C上，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{BP}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=$\sqrt{3}$，點（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）代入橢圓方程，解方程可得b，進而得到橢圓方程；
（2）由向量的運算可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），討論直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，運用韋達定理，以及P在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡整理求得k，再考慮直線l的斜率不存在，驗證不成立．

解答 解：（1）由已知得2a=$2\sqrt{3}$．得a=$\sqrt{3}$，
又由橢圓過點$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，可得$\frac{1}{3}+\frac{4}{{3{b^2}}}=1$，解得$b=\sqrt{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）橢圓C的方程可化為2x²+3y²=6．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
若點P在橢圓C上，且$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BP}$，
則有$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}，即\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，
（�。┊攍不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=k（x-1），
點P使$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立的充要條件是P點坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），
且2（x₁+x₂）²+3（y₁+y₂）²=6，
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6，
又A、B在橢圓C上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6，
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0．①
將y=k（x-1）代入2x²+3y²=6，并化簡得
（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，
于是x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁×x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²（x₁x₂+1-x₁-x₂）
=k²（$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$+1-$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$）=-$\frac{4{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
代入①解得k²=2，
因此，當k=-$\sqrt{2}$時，l的方程為$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0；
當k=$\sqrt{2}$時，l的方程為$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0．
（ⅱ）當l垂直于x軸時，由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，0）知，
C上不存在點P使$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，
綜上，l的方程為$\sqrt{2}$x±y-$\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線的方程的求法，注意運用分類討論的思想方法，以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，考查向量共線的坐標表示，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．