Question

7．設E，F(xiàn)分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BC，CD上的點，∠EAF=45°，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2（$\sqrt{2}$-1）
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 以A為坐標原點，AB，AD所在的直線為x，y軸建立直角坐標系，設E（1，m），F(xiàn)（n，1），求得tan∠EAB=m，tan∠FAD=n，由兩角和的正切公式可得tan（∠EAB+∠FAD）=1，即有m+n+mn=1，運用基本不等式可得mn≤（$\frac{n+m}{2}$）²，解m+n的不等式即可得到所求最小值．

解答 解：以A為坐標原點，AB，AD所在的直線為x，y軸建立直角坐標系，
設E（1，m），F(xiàn)（n，1），
tan∠EAB=m，tan∠FAD=n，
且tan（∠EAB+∠FAD）=tan（90°-∠EAF）=tan45°=1，
即有$\frac{tan∠EAB+tan∠FAD}{1-tan∠EAB•tan∠FAD}$=$\frac{m+n}{1-mn}$=1，
即為m+n+mn=1，
則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（1，m）•（n，1）=m+n，
由mn≤（$\frac{n+m}{2}$）²，可得1=m+n+mn≤（m+n）+$\frac{（m+n）^{2}}{4}$，
解不等式可得m+n≥2（$\sqrt{2}$-1），
當且僅當m=n時，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值為2（$\sqrt{2}$-1），
故選：C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和最值的求法，注意運用基本不等式和兩角和的正切公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．