Question

18．已知在60°二面角M-α-N內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M、平面N的距離均為2，求點(diǎn)P到直線a的距離．

Answer 1

分析 設(shè)PA、PB分別為點(diǎn)P到平面M、N的距離，過PA、PB作平面α，分別交M、N于AQ、BQ，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AQB是二面角M-a-N的平面角，連PQ，則PQ是P到a的距離，PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R，在△PAB中由余弦定理得 求出AB，最后根據(jù)正弦定理可求出PQ，從而求出點(diǎn)P到直線a的距離．

解答 解：設(shè)PA、PB分別為點(diǎn)P到平面M、N的距離，過PA、PB作平面α，分別交M、N于AQ、BQ． 　　
PA⊥平面M，a?平面M，則PA⊥a，同理，有PB⊥a，
∵PA∩PB=P，∴a⊥面PAQB于Q
又AQ、BQ?平面PAQB，∴AQ⊥a，BQ⊥a．
∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角，
∴∠AQB=60°
連PQ，則PQ是P到a的距離，在平面圖形PAQB中，有∠PAQ=∠PBQ=90°
∴P、A、Q、B四點(diǎn)共圓，且PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R
在△PAB中，∵PA=2，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，
由余弦定理得 AB²=4+4-2×2×2cos120°=12
由正弦定理：PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4
∴點(diǎn)P到直線a的距離為4．

點(diǎn)評(píng) 本題中，通過作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角，屬于中檔題．