Question

8．如圖，BC是圓O的直徑，點F在弧$\widehat{BC}$上，點A為弧$\widehat{BF}$的中點，做AD⊥BC于點D，BF與AD交于點E，BF與AC交于點G．
（Ⅰ）證明：AE=BE
（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：∠ABF=∠BAD，即可證明AE=BE
（Ⅱ）由△ABG∽△ACB，求出AB，直角△ABC中由勾股定理知BC，即可求圓O的半徑．

解答 證明：（Ⅰ）連接AB，∵點A為弧$\widehat{BF}$的中點，
∴$\widehat{BA}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ABF=∠ACB…（2分）
又∵AD⊥BC，BC是圓O的直徑，…（4分）
∴∠BAD=∠ACB，
∴∠ABF=∠BAD，
∴AE=BE       …（5分）
（Ⅱ）由△ABG∽△ACB知AB²=AG•AC=2×9
∴AB=3$\sqrt{2}$                                   …（8分）
直角△ABC中由勾股定理知BC=3$\sqrt{11}$            …（9分）
∴圓的半徑為$\frac{3\sqrt{11}}{2}$                                …（10分）

點評 本題考查圓的直徑的性質(zhì)，考查三角形相似的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．