Question

【題目】如圖，已知D點(diǎn)在⊙O直徑BC的延長線上，DA切⊙O于A點(diǎn)，DE是∠ADB的平分線，交AC于F點(diǎn)，交AB于E點(diǎn)．

（1）求∠AEF的度數(shù)；
（2）若AB=AD，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)锳C為⊙O的切線，所以∠B=∠DAC

因?yàn)镈E是∠ADB的平分線，所以∠ADE=∠EDB

所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE，即∠AEF=∠AFE，

又因?yàn)锽C為⊙O的直徑，所以∠BAC=90°．所以∠AEF= （180°﹣90°）=45°；

（2）解：因?yàn)椤螧=∠DAC，所以∠ADB=∠CDA，所以△ACD∽△BAD，

所以 = ，

又因?yàn)锳B=AD，所以∠B=∠ADB=30°，

Rt△BAC中， = =tan30°=

【解析】（1）利用弦切角定理、角平分線的性質(zhì)證明∠AEF=∠AFE，由BC為⊙O的直徑，結(jié)合圓周角定理的推論，可得∠AFE的度數(shù)；（2）證明△ACD∽△BAD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得 = ，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．