Question

已知函數(shù)φ（x）=

a

x+1

，a為常數(shù)．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，當x₁≠x₂時，都有

g(x2)-g(x1)

x 2-x 1

＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：綜合題,分類討論,函數(shù)思想,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）對f（x）求導，利用f′（x）＞0判斷函數(shù)單調增，f′（x）＜0函數(shù)單調減，求出單調區(qū)間；
（2）由題意，構造函數(shù)h（x）=g（x）+x，根據h（x）在（0，2]上的單調性，再利用導數(shù)討論h（x）的單調性與最值問題，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+

a

x+1

，（x＞0）；
∴f′（x）=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，
當a=

9

2

時，令f′（x）＞0，即x²-

5

2

x+1＞0，
解得x＞2，或x＜

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（0，

1

2

），（2，+∞），單調減區(qū)間為（

1

2

，2）；---5分（注：兩個單調增區(qū)間，錯一個扣1分）
（2）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，∴

g(x2)-g(x1)

x2-x1

+1＜0，
即

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0；
設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數(shù)；---8分
當1≤x≤2時，h（x）=lnx+

a

x+1

+x，h′（x）=

1

x

-

a

(x+1)2

+1；
令h′（x）≤0，解得a≥

(x+1)2

x

+（x+1）²=x²+3x+

1

x

+3對x∈[1，2]時恒成立；
設m（x）=x²+3x+

1

x

+3，則m′（x）=2x+3-

1

x2

，
∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3-

1

x2

＞0，
∴m（x）在[1，2]上是增函數(shù)，則當x=2時，m（x）的最大值為

27

2

，∴a≥

27

2

；…11分
當0＜x＜1時，h（x）=-lnx+

a

x+1

+x，h′（x）=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，解得a≥-

(x+1)2

x

+（x+1）²=x²+x-

1

x

-1，
設t（x）=x²+x-

1

x

-1，則t′（x）=2x+1+

1

x2

＞0，
∴t（x）在（0，1）上是增函數(shù)，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0；---13分
綜上所述，a的取值范圍{a|a≥

27

2

}．---14分

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，也考查了構造函數(shù)來研究函數(shù)的單調性與最值問題和分類討論思想，是綜合性題目．