Question

17．已知f_n（x）=（1+x）ⁿ
（1）若f₂₀₁₆（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶，求a₁+a₂+…+a₂₀₁₅+a₂₀₁₆的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶項的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分別令x=1和x=0，即可求出，
（2）根據(jù)二項式的通項公式即可求出．

解答 解：（1）f₂₀₁₆（x）=（1+x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶．
令x=1，2²⁰¹⁶=a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₆；
令x=0，則a₀=1，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=2²⁰¹⁶-1．
（2）g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）=（1+x）⁶+2（1+x）⁷+3（1+x）⁸，
∴x⁶項的系數(shù)為：C₆⁶+2C₇⁶+3C₈⁶=1+14+84=99．

點評 本題考查二項式定理的應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用，考查計算能力．