Question

8．已知橢圓$C：\frac{{x{\;}^2}}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右頂點(diǎn)為A．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)F₁且與C相交于B，D兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值及相應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直線方程為x=my-$\sqrt{3}$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，和三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值和對(duì)應(yīng)的直線方程．

解答 解：（Ⅰ）離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即為$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由b=$\sqrt{3}$，a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{6}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直線方程為x=my-$\sqrt{3}$，
代入橢圓方程可得，（2+m²）y²-2$\sqrt{3}$my-3=0，
即有y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{2+{m}^{2}}$，
則△ABD的面積為${S}_{△A{F}_{1}B}$+${S}_{△A{F}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）•$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}m}{2+{m}^{2}}）^{2}+\frac{12}{2+{m}^{2}}}$
=（6+3$\sqrt{2}$）•$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=1+m²（t≥1），即有$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{t}{（t+1）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$≤$\sqrt{\frac{1}{2+2}}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時(shí)，取得最大值，
則有△ABD的面積的最大值為3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
此時(shí)直線l的方程為x=-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．